Why Jordan Algebras Are Natural in Statistics: Quadratic Regression Implies Wishart Distributions

— If the space Q of quadratic forms in Rn is splitted in a direct sum Q1 ⊕ · · · ⊕ Qk and if X and Y are independent random variables of Rn, assume that there exist a real number a such that E(X|X + Y ) = a(X + Y ) and real distinct numbers b1, ..., bk such that E(q(X)|X + Y ) = biq(X + Y ) for any q in Qi. We prove that this happens only when k = 2, when Rn can be structured in a Euclidean Jordan algebra and when X and Y have Wishart distributions corresponding to this structure. Résumé (Pourquoi les algèbres de Jordan sont-elles naturelles en statistiques? La régression quadratique implique la distribution de Wishart) Si l’espace Q des formes quadratiques sur Rn est décomposé en une somme directe Q1⊕· · ·⊕ Qk et si X et Y sont des variables aléatoires indépendantes de Rn, supposons qu’il existe un nombre réel a tel que E(X|X + Y ) = a(X + Y ) ainsi que des nombres réels distincts b1, ..., bk tels que E(q(X)|X + Y ) = biq(X + Y ) pour tout q de Qi. Nous montrons que cela n’arrive que pour k = 2, que lorsque Rn peut être structuré en algèbre de Jordan euclidienne et que lorsque X et Y suivent des lois de Wishart correspondant à cette structure. Texte reçu le 2 juin 2009, accepté le 6 novembre 2009 G. Letac, Laboratoire de Statistique et Probabilités, Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse, France • E-mail : [email protected] J. Wesołowski, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechnika Warszawska, Warszawa, Poland • E-mail : [email protected] 2000 Mathematics Subject Classification. — 60H10, 62H05.